英国剑桥大学哲学系教师Mary Catherine Leng博士应邀于5月21日至26日来中心访问。访问期间Mary Catherine Leng博士与中心师生就数学哲学等方面的研究进行了广泛的交流讨论，并为中心师生作了相关方面的学术报告。
　　Mary Catherine Leng 博士1996年至2001年加拿大多伦多大学哲学学院博士毕业； 2001年在加利福尼亚大学逻辑与科学哲学系作访问学者；2001－2002年在加拿大多伦多大学做博士后，2002年至今在英国剑桥大学哲学系工作。主要研究方向是数学哲学。
　　Mary Catherine Leng 博士学术报告的内容是：Understanding mathematics: Two 'Algebraic' approaches(理解数学：两种代数观的进展)。
　　报告分三个专题进行：
　　一、5月22日下午3－5点：'lgebraic' vs. 'Assertory' views of mathematical axioms（数学公理的“代数观”与“确定观”）
　　1、Frege的公理确定观
　　1）用于表达我们公理的非逻辑术语，必须在我们着手这些公理之前就被理解。
　　“定义和所有其他主张应该严格被审查，这对于精确化的数学研究是必须的。其他主张（公理、基本法则、定理）不能包含意义和意思，或其对思想的作用还未确定的一个词或符号，以使对主张或其表达的想法不会有疑问。唯一的疑问可能是这种思想是否是真的，包含什么样的真理。这样，公理和定理不可能试图确定在他们中出现的词或符号的意义，但是意义必须被确定。”
　　2）直觉告诉我们公理的真理性和一致性
　　“我将公理称为真实的但未被证明的主张，因为我关于它们的知识来自于与逻辑源泉不同的源泉，这种源泉可被称为空间直觉。由于公理的真实性，它们互不矛盾，所以不需要进一步证明。
　　2、Hilbert的公理代数观
　　1）用于表达数学公理的非逻辑术语借助这些公理在语境中被理解。
　　“在我看来，一个概念只有通过与其他概念的关系才会在逻辑上确定，这种关系表述在某些语句中，我称之为公理。进而就会形成这样的观点：公理就是一些概念的定义。”
　　2）对数学公理来说，真理原自于一致性，反之不成立。所以我们需要一个独立的理由来相信我们的真理是一致的。
　　“你写下‘我称公理为主张……，由于公理的真理性，它们互相不矛盾’。我在你的信件中读到这个特定的句子时感到很有趣，因为只要我还在作关于这些东西的思考、写作和演讲，我就会唱反调：如果任意给定的公理与它们的结果并不相互矛盾，那么它们就是真的。而且被公理定义的事物是存在的。对我来说这就是真理和存在的标准。”
　　二、5月23日下午3－5点：Structuralism as an algebraic view（数学中的结构主义）
    　1、Geoffrey Hellman的模型结构理论
　　按照Hellman的观点，难以肯定地断言我们平常的数学理论就代表着真。但是，这种陈述也并不是关于我们数学原理结论的简略表达方式。
　　举例来说，一种关于Ｐ在数字理论语境下的陈述将会被认为是一种主张：从逻辑上讲，Ｐ来源于数字理论原理的间接断言。例如，从逻辑上讲，在一些满足公理体系的具体物体中，Ｐ必须为真。
   　1）Hellman体系中的简单形态
　　从逻辑上讲，必要的运算符号必须具有实际意义。否则，如果出现原理不能对应于具体实体，那么数字理论语境下所做出的陈述将会没有实际意义的真。
　　逻辑上必要的运算符号必须被理解为程式上的简单（或者，最好将其定义为：“在逻辑上不可能不……”，这里逻辑上必要的运算符号是一种程式上的简单），不是简单地声明在所有的集合理论模型中什么是真。否则，当解释集合理论语境下所提出的陈述时，所提出的数学陈述的再解释将会成为语义的重复。
　　2）Hellman体系中的第二次序逻辑
　　为了考虑那些超出我们的第一次序Ｐeano原理所能作出的推论而存在的真理，Hellman业已接受我们原理的第二次序叙述，而且承认那些公理的语义结论可能可能超出从我们的公理中所能推出来的结论。
　　3）Hellman的不同种类主张的叙述
　　“行星的数量是9”的主张成为“从逻辑上讲必须是成立的，如果关于物质世界的事实被认为是确定的，而且〈N，0，S〉是一些满足于数学公理体系的具体物体，那么“行星的数量是9”。
　　“在运用一种关于我们希望那一类事实保持中性的合理的数学结构中，我们理所当然不用思考在实际上数学语境下的一些变化。此外，也不用思考数学结构的假设在逻辑上会产生什么。正如我们可能本能地将其认为：真实的，物质的境况将会完全保持为原来的那样。”
　　2、Stewart Shapiro的ante rem结构主义
　　按照Shapiro的观点，我们的数学陈述过于断言真理，但是那些定义的物体满足于我们的数学公理。Shapiro认为，如果一种公理体系是一致的，那么它描述了一种真实存在的数学结构。那些由公理描述的物体是那种结构中的位置。通过我们的结构特征，它们精确地拥有归因于它们自身的所有物。
　　因此，发现关于这些物体的事实有助于揭示数学公理中的结论。
　　1）Shapiro体系中的简单程式
　　Shapiro认为一些具有一致性的数学公理集描述了一种抽象的结构。为了避免语义的重复，那种“一致的”运算符号必须被视为具有逻辑上的简单性，而不可简约化至关于保持一致性的公理的集合理论模型的存在。否则，我们不可能从集合理论公理的存在到一种抽象集合理论结构的存在提出理由。
　　2）Shapiro体系中的第二次序逻辑
　　Shapiro假设我们的公理体系可特征化为统一的结构（上升为异质同形）。因此，他不但不接受第二序的公理表述，而且承认那些公理的（语义的）结论可能超过那些公理中所导出的推论。
　　3）Shapiro的不同种类主张的叙述
　　关于抽象数学结构可在物理体系中以具体的例子给予说明的各种情况，Shapiro持一种运用的态度。
　　“当理论家视物理中的一个给定领域体现特定的结构为理所当然时，数学产生作用。几乎所有的科学理论，物理体系的结构都被一系列数学结构所模拟或描述。”
　　但是并不是所有的应用都如此。总体上讲，数学应用通过对应关系来建立数学和非数学客体之间的关系。但是如果这些关系被认为存在于数学和非数学之间，那么，必须允许承认数学客体拥有一些外在物，而这些外在物并不来自于我们对那些客体的公理化定义。Shapiro在这里就需要一个案例来支撑他的理论：我们如何才能知道那些数学客体拥有它们的外在物？
　　三、5月24日下午3－5点：Fictionalism as an algebraic view（数学中的虚构主义）
　　1、Quine-Putnam的不可分割观点
　　“数学的量对于形式科学和物质科学都是不可缺少的。所以我们应该接受这样的量。但这就要求我们接受数学实体的存在。这种观点当然来自Quine，他数年来一直强调数学实体量的不可缺少性，也强调人们否认数学实体的智力谎言，因为这些数学实体是他们予设了的。”
　　更正式地说：
　　1）（自然主义）我们要留意科学，特别是我们平常的科学标准最认可的陈述，来决定我们应该相信什么。
　　2）（确定的整体主义）我们理论的确定性以同等程度扩展到其他陈述中。
　　3）（不可分割性）某些陈述的真实性要求数学实体的存在它们对我们最好的科学是不可缺少的。
　　所以：（数学实在论）我们应该相信存在数学实体。
　　2、对不可分割性的反驳：Hartry Field的虚构主义
　　Field把应用问题看作数学通过几何方法公理化的唯一的障碍。
  　“我所听到的唯一没有疑议的论断认为数学是一个真理的实体，这最终要依靠数学对物质世界的适用性。所以如果对于物质世界的适用性也不是一个很好的论断，我们没有理由把数学的任何一部分看成真理”。
　　Field的不可分割论述：
　　“个人可以经常公理化科学理论，所以在重新公理化中没有数学实体的参照和量。”
　　Field的保守主义论述：
　　在P是T语言中的任一句子的前提下，如果P是T*的一个结果，那么P是T的一个结果成立，那么理论T*是理论T的保守外推。
    　Field认为数学理论比非数学理论保守：
　　“我们将会……对标准数学不一致的证据感到十分惊奇，并且认为他们表明标准数学需要修改。我们会对如果发现标准的数学暗示宇宙中至少有106个非数学的实体或巴黎公社失败感到同样的惊奇。如果有这样的发现，除了理性主义者以外，人们会认为这表明标准的数学理论需要修改。好的数学是保守的，一个接受非保守数学的发现不是一个好的发现。
　　3、反驳整体主义：新的虚构主义
　　认为所有的理论假设通过理论的成功都被同等程度地证实的观点是天真的。例如，科学家们根本不相信流体是“连续的物质”被理论化的成功所证实。
　　“我们最好的科学理论中实体不可分割的表现通常不足以使科学家们相信它是真的。如果我们仍然希望从数学在科学的应用对数学实体的存在作出结论，那么我们必须留意数学在科学中如何出现和它在科学中起作用的细节。
　　反驳关于数学接受经验确证的论断。如果在我们经验性理论中的数学假设的作用仅仅是把非数学的实体表述为各种方式的相互联系，那么这种作用可以不考虑数学实体是否真的存在而发生。因为非数学客体即使数学客体不存在也会存在。
　　“经验科学的柏拉图主义内容的真正价值和它的唯名论内容的真正价值毫无关系。我们可以这样想：如果数学领域中所有实体突然消失，在物质世界中没有东西会改变。因此，如果经验科学现在是正确的，那么它的唯名论内容也将是正确的，即使数学领域消失。但这也预示着如果没有开始的数学实体，经验科学的唯名论内容仍然是正确的。”
　　生动的报告开阔了中心师生的视野，为广大师生及时、直观、深刻了解国际科学哲学研究态势，掌握数学哲学的国际走向提供了一次极好的机会。